Лето 2026- (שאלון 35571) Задание 5

Во второй задаче под номером 5, в Багруте на 5 ехидот, нужно было показать не только знания геометрии, но и знания законов тригонометрии.

А начинается все с простой трапеции...

Начнем, как всегда, с самого простого, первого задания (א).

Покажите, что $AC = 2k \cos\alpha$.

1. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. По условию $AB = BC = k$, следовательно, треугольник равнобедренный.

2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит $\angle BAC = \angle ACB = \alpha$.

3. Опустим высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой. Поэтому $AH = HC$, и $AC = 2AH$.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. Выразим катет $AH$ через гипотенузу и косинус прилежащего угла:$\cos\alpha = \frac{AH}{AB} \implies AH = k \cos\alpha$

5. Так как $AC = 2AH$, получаем:$AC = 2k \cos\alpha$

(Что и требовалось доказать)

В задание (ב) нужно найти величину угла $\alpha$

1. Рассмотрим трапецию $ABCD$. Так как основания параллельны ($AB \parallel DC$), накрест лежащие углы при секущей $AC$ равны: $\angle ACD = \angle BAC$.

2. Мы знаем, что $\angle BAC = \alpha$, следовательно, $\angle ACD = \alpha$.

3. Рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Нам известны три стороны: $AD = 1.2k$, $DC = 2k$ и $AC = 2k \cos\alpha$. Применим теорему косинусов для стороны $AD$:

$AD^2 = AC^2 + DC^2 - 2 \cdot AC \cdot DC \cdot \cos(\angle ACD)$

4. Подставим известные значения:

$(1.2k)^2 = (2k \cos\alpha)^2 + (2k)^2 - 2 \cdot (2k \cos\alpha) \cdot (2k) \cdot \cos\alpha$

$1.44k^2 = 4k^2 \cos^2\alpha + 4k^2 - 8k^2 \cos^2\alpha$

5. Так как длина отрезка не может быть нулем ($k > 0$), разделим обе части уравнения на $k^2$:

$1.44 = 4 \cos^2\alpha + 4 - 8 \cos^2\alpha$

$1.44 = 4 - 4 \cos^2\alpha$

$4 \cos^2\alpha = 2.56$

$\cos^2\alpha = 0.64$

6. Из условия известно, что $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ (угол острый), поэтому косинус должен быть положительным:

$\cos\alpha = 0.8$

$\alpha = \arccos(0.8) \approx 36.87^\circ$

Ответ: $\alpha \approx 36.87^\circ$

** В задание (ג), нужно найти величину угла $ADC$**

1. В треугольнике $\triangle ADC$ мы теперь можем выразить все стороны через $k$. Подставим $\cos\alpha = 0.8$ в выражение для $AC$:

$AC = 2k \cdot 0.8 = 1.6k$

2. Применим теорему косинусов для стороны $AC$, чтобы найти искомый угол $ADC$:

$AC^2 = AD^2 + DC^2 - 2 \cdot AD \cdot DC \cdot \cos(\angle ADC)$

$(1.6k)^2 = (1.2k)^2 + (2k)^2 - 2 \cdot (1.2k) \cdot (2k) \cdot \cos(\angle ADC)$

3. Возведем в квадрат и раскроем скобки:

$2.56k^2 = 1.44k^2 + 4k^2 - 4.8k^2 \cdot \cos(\angle ADC)$

Разделим на $k^2$ и выразим косинус угла:

$2.56 = 5.44 - 4.8 \cdot \cos(\angle ADC)$

$4.8 \cdot \cos(\angle ADC) = 5.44 - 2.56$

$4.8 \cdot \cos(\angle ADC) = 2.88$

$\cos(\angle ADC) = \frac{2.88}{4.8} = 0.6$

5. Найдем величину угла:

$\angle ADC = \arccos(0.6) \approx 53.13^\circ$

***Ответ: $\angle ADC \approx 53.13^\circ$

Последнее задание посвящено нахождению коэффициента $k$

Но в начале, надо нарисовать рисунок:

1. Рассмотрим треугольники $\triangle EAB$ и $\triangle EDC$. Так как $AB \parallel DC$, эти треугольники подобны по двум углам (соответственные углы равны).

2. Коэффициент подобия равен отношению оснований:

$\frac{AB}{DC} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}$

3. Это означает, что отрезок $AB$ является средней линией треугольника $\triangle EDC$. Следовательно, точка $A$ — середина стороны $ED$, а $B$ — середина стороны $EC$.

$ED = 2 \cdot AD = 2 \cdot 1.2k = 2.4k$

$EC = 2 \cdot BC = 2 \cdot k = 2k$

4. Треугольник $\triangle EDC$ имеет стороны: $ED = 2.4k$, $EC = 2k$, $DC = 2k$. Это равнобедренный треугольник, так как $EC = DC$.

5. Радиус вписанной окружности $r$ вычисляется по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — полупериметр.

6. Найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{2.4k + 2k + 2k}{2} = 3.2k$

7. Найдем площадь $S$. Опустим высоту из вершины $C$ на основание $ED$. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, является медианой, поэтому она делит $ED$ пополам (длина половины равна $1.2k$).По теореме Пифагора найдем высоту $h$:

$h = \sqrt{(2k)^2 - (1.2k)^2} = \sqrt{4k^2 - 1.44k^2} = \sqrt{2.56k^2} = 1.6k$

Площадь треугольника $\triangle EDC$:

$S = \frac{1}{2} \cdot ED \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 2.4k \cdot 1.6k = 1.92k^2$

8. По условию $r = 14$. Подставим $S$, $p$ и $r$ в формулу радиуса:

$14 = \frac{1.92k^2}{3.2k}$

$14 = 0.6k$

$k = \frac{14}{0.6} = \frac{140}{6} = \frac{70}{3} = 23\frac{1}{3}$

Ответ: $k = 23\frac{1}{3}$