Задание 1(ב)- Зима 2026 (שאלון 35571)

(1) Выразите через $p$ вероятность того, что один из игроков победит в обеих играх

$p$ — вероятность победы Надава в одной игре, тогда вероятность победы Яира в 2 раза больше: $2p$.

Требуемая вероятность включает два варианта:

Яир победил в обеих играх: $2p \cdot 2p = 4p^2$.

Надав победил в обеих играх: $p \cdot p = p^2$.

Так как они взаимоисключающих (или Надав выиграет два раза, или Яир), то достаточно их просто сложить:

$P(\text{один победил дважды}) = 4p^2 + p^2 = 5p^2$

---

(2) Оценить/найти $p$, и определить, какой из вариантов I–III соответствует его значению.

Нам дана условная вероятность.

Пусть событие $A$ — «каждая из игр закончилась вничью», а событие $B$ — «ни один из игроков не победил в обеих играх».

Нам известно, что $P(A|B) = \frac{9}{31}$.

Используем формулу для условной вероятности:

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.

Здесь $P(A \cap B)$-«каждая из игр закончилась вничью», а значит автоматически ни один игрок не победил в обеих играх ($B$), и $P(A \cap B) = P(A)$.

1. Найдем $P(A)$.

Для это вернемся к одному событию. В нем три варианта исхода: Победа Надава-$p$, победа Яира- $2p$, и Ничья.

Таким образом вероятность Ничьи: $(1 - 3p)$

А при двух одинаковых результатов (две ничьи):

$P(A) = (1 - 3p)^2$

2. Находим вероятность $P(B)$ (ни один не победил дважды).

Она соответствует противоположному событию тому, что мы нашли в пункте (1).

$P(B) = 1 - 5p^2$

3. Осталось составить уравнение и решить.

$\frac{(1 - 3p)^2}{1 - 5p^2} = \frac{9}{31}$

Раскроем скобки:

$31(1 - 6p + 9p^2) = 9(1 - 5p^2)$

$31 - 186p + 279p^2 = 9 - 45p^2$

$324p^2 - 186p + 22 = 0$

Разделим на 2 для упрощения:

$162p^2 - 93p + 11 = 0$

Используем формулу корней квадратного уравнения $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-93)^2 - 4 \cdot 162 \cdot 11 = 8649 - 7128 = 1521 = 39^2$

$p_1 = \frac{93 + 39}{324} = \frac{132}{324} = \frac{11}{27}$

$p_2 = \frac{93 - 39}{324} = \frac{54}{324} = \frac{1}{6}$

Получили два ответа, которые есть в предложенных вариантах для оценки.

Пугаться не стоит, проверим оба варианта на логическую состоятельность. Вероятность ничьей $1 - 3p$ может быть больше или равна нулю:

Если $p = \frac{11}{27}$, то $3p = \frac{33}{27} > 1$, что невозможно (вероятность ничьей станет отрицательной).

Если $p = \frac{1}{6}$, то $3p = \frac{3}{6} = 0.5$. Тогда вероятность ничьей $1 - 0.5 = 0.5$. Это корректное значение.

Ответ: Вариант III ($p = \frac{1}{6}$).