Лето 2026 (מועד ב)- (שאלון 35571) Задание 3

Условие третьего задания на пересдаче Багрута (5 ехидот-35571), звучало стандартным.

Посмотрим будет ли стандартным и решение...

---

Но в начале, введем обозначения:

• $A$ — кандидат прошел тест А. По условию, $P(A) = p$.

• $B$ — кандидат прошел тест Б. (Условие допуска: прохождение теста А).

• $I$ — кандидат прошел интервью. (Условие допуска: прохождение тестов А и Б).

Запишем данные нам вероятности математически:

1. Условная вероятность пройти тест Б, если пройден тест А:$P(B \vert{} A) = 2 \cdot P(A) = 2p$.

2. Кандидат принимается на работу, если происходят все три события ($A$, $B$ и $I$). Вероятность этого:$P(\text{принят}) = P(A \cap B \cap I)$.

3. По условию: $P(A \cap B \cap I) = 3 \cdot P(A \cap B \cap \bar{I})$, где $\bar{I}$ — событие «не прошел интервью».

Теперь, самое главное - нарисуем дерево, которое поможет нам увидеть всю картину целиком:

Но, сталкиваемся с первой сложностью - непонятно чему вероятность успеха/ не успеха в интервью.

А в этом поможет решения первого задания

Задание 1

Нам нужно найти условную вероятность прохождения интервью при условии успешной сдачи двух тестов: $P(I \vert{} A \cap B)$. Обозначим искомую вероятность за $x$.Тогда вероятность не пройти интервью после двух тестов равна $1 - x$.

Используем формулу умножения вероятностей:

$P(A \cap B \cap I) = P(A \cap B) \cdot P(I \vert{} A \cap B) = P(A \cap B) \cdot x$

$P(A \cap B \cap \bar{I}) = P(A \cap B) \cdot P(\bar{I} \vert{} A \cap B) = P(A \cap B) \cdot (1 - x)$

Подставляем это в условие из текста (вероятность быть принятым в 3 раза больше):

$P(A \cap B) \cdot x = 3 \cdot P(A \cap B) \cdot (1 - x)$

Поскольку вероятность пройти два теста $P(A \cap B) = p \cdot 2p = 2p^2 > 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $P(A \cap B)$:

$x = 3(1 - x)$

$x = 3 - 3x$

$4x = 3$

$x = 0.75$

Ответ: Вероятность равна $0.75$ (или $\frac{3}{4}$).

---

Задание 2

Известно, что $94\%$ кандидатов не принимаются на работу. Значит, доля принятых составляет всего $6$.

Следовательно, общая вероятность быть принятым равна:

$P(\text{принят}) = 0.06$

Мы знаем, что кандидат принимается только если прошел А, затем Б, затем интервью:

$P(\text{принят}) = P(A) \cdot P(B\vert{}A) \cdot P(I \vert{} A \cap B)$

Подставляем известные значения:

$p \cdot 2p \cdot 0.75 = 0.06$

$1.5p^2 = 0.06$

$p^2 = \frac{0.06}{1.5} = 0.04$

Поскольку в условии сказано, что $0 < p < 1$, отрицательный корень отбрасываем.

$p = \sqrt{0.04} = 0.2$

Ответ: $p = 0.2$.

---

Задание 3

Это задача на поиск условной вероятности по формуле Байеса (или по определению условной вероятности). Нам нужно найти вероятность того, что кандидат прошел тест А, при условии, что он не был принят: $P(A \vert{} \text{не принят})$.

По формуле условной вероятности:

$P(A \vert{} \text{не принят}) = \frac{P(A \cap \text{не принят})}{P(\text{не принят})}$

Знаменатель нам дан в условии: $P(\text{не принят}) = 0.94$.Числитель (прошел тест А, но не был принят) найдем как разность:

$P(A \cap \text{не принят}) = P(A) - P(A \cap \text{принят})$

Вероятность того, что кандидат прошел тест А, мы уже знаем: $P(A) = p = 0.2$.Вероятность того, что кандидат прошел тест А и был принят, это и есть общая вероятность быть принятым, так как без прохождения теста А принять на работу не могут. Значит, $P(A \cap \text{принят}) = 0.06$.

Вычисляем:

$P(A \cap \text{не принят}) = 0.2 - 0.06 = 0.14$

Теперь находим искомую условную вероятность:

$P(A \vert{} \text{не принят}) = \frac{0.14}{0.94} = \frac{14}{94} = \frac{7}{47}$

Ответ: $\frac{7}{47}$ (или примерно $0.1489$).

---

Последнее задание

Это классическая задача на формулу Бернулли. Мы производим $n = 5$ независимых испытаний (выбираем 5 непринятых кандидатов).«Успехом» будем считать то, что выбранный непринятый кандидат прошел тест А. Вероятность успеха в одном испытании мы только что нашли в пункте «в»: $k = \frac{7}{47}$.

Нам нужно найти вероятность того, что по крайней мере двое из 5 прошли тест А (то есть 2, 3, 4 или 5). Проще найти это через вероятность противоположного события:

$P(X \ge 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$

Вычисляем вероятности по формуле Бернулли $P(X=m) = C_n^m \cdot p^m \cdot (1-p)^{n-m}$:Вероятность того, что никто (0) не прошел тест А:

$P(X=0) = \binom{5}{0} \cdot \left(\frac{7}{47}\right)^0 \cdot \left(\frac{40}{47}\right)^5 = 1 \cdot 1 \cdot \left(\frac{40}{47}\right)^5 \approx 0.4465$

Вероятность того, что ровно 1 прошел тест А:

$P(X=1) = \binom{5}{1} \cdot \left(\frac{7}{47}\right)^1 \cdot \left(\frac{40}{47}\right)^4 = 5 \cdot \frac{7}{47} \cdot \left(\frac{40}{47}\right)^4 \approx 0.3907$

Считаем искомую вероятность:

$P(X \ge 2) = 1 - 0.4465 - 0.3907 = 0.1628$

Точный ответ в виде простой дроби будет равен $\frac{37345007}{229345007}$, что составляет $\approx 0.1628$).

Ответ: $0.1628$.

Как мы видим решение оказалось не таким и тривиальным.