Задание 1(ד)- Зима 2026 (שאלון 35571)

Разберем последние задание ד(1) из первой части Багрута (2026:שאלון-35571), которая посвящена прогрессии.

(1) Найдите первые три члена прогрессии

Для любого натурального $n \ge 1$:

При $n=1$: $a_1 = \frac{\cos(2\pi)}{5 \cdot 2^1} = \frac{1}{10}$

(Так как $\cos(2\pi) = 1$).

При $n=2$:$a_2 = \frac{\cos(4\pi)}{5 \cdot 2^2} = \frac{1}{5 \cdot 4} = \frac{1}{20}$

(Так как $\cos(4\pi) = 1$).

При $n=3$: $a_3 = \frac{\cos(8\pi)}{5 \cdot 2^3} = \frac{1}{5 \cdot 8} = \frac{1}{40}$

(Так как $\cos(k\pi) = 1$)

для любого четного целого $k$.

---

(2) Докажите, что прогрессия — геометрическая

Здесь главное заметить, что для любого натурального $n \ge 1$ аргумент косинуса $\pi \cdot 2^n$ всегда является четным числом, кратным $\pi$ (поскольку $2^n$ при $n \ge 1$ — четное число).

Следовательно, $\cos(\pi \cdot 2^n) = 1$ для всех $n$.

Общая формула упрощается до: $a_n = \frac{1}{5 \cdot 2^n}$

Чтобы доказать, что прогрессия является геометрической, найдем отношение последующего члена к предыдущему:

$q = \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{1}{5 \cdot 2^{n+1}}}{\frac{1}{5 \cdot 2^n}} = \frac{5 \cdot 2^n}{5 \cdot 2^{n+1}} = \frac{2^n}{2^{n+1}} = \frac{1}{2}$

Так как отношение $q$ постоянно и не зависит от $n$, последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = 1/2=0.5$.

---

(3) Найдите сумму прогрессии Так как $|q| < 1$, мы имеем дело с бесконечно убывающей сходящейся геометрической прогрессией.

Поэтому сумма находится по формуле:$S = \frac{a_1}{1 - q}$

Подставляем известные значения ($a_1 = 1/10$ и $q = 1/2$):$S = \frac{\frac{1}{10}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Ответ: $0.2$ (или $1/5$).