Лето 2026 (מועד ב)- (שאלון 35571) Задание 2

Вторая задача на пересдаче Багрута в шеэлоне 35571 (5 ехидот), благодаря окалотам, была посвящена только геометрическим прогрессииям.

Если выполнять внимательно, то особенных сложностей в решение не встречаешь.

---

Задание 1 Определение знаменателя $q$

По условию, прогрессия $a_n$ состоит только из положительных членов, следовательно, $a_1 > 0$ и знаменатель $q > 0$ (иначе знаки бы чередовались).

Также сказано, что прогрессия убывающая. Значит, каждый следующий член меньше предыдущего:

$a_2 < a_1$

Подставим формулу $n$-го члена ($a_2 = a_1 \cdot q$):

$a_1 \cdot q < a_1$

Так как $a_1 > 0$, при делении обеих частей неравенства на $a_1$ знак неравенства не меняется:

$q < 1$

Объединяя условия $q > 0$ и $q < 1$, получаем:

$0 < q < 1$

Ответ: Верно утверждение II.

---

Задание 2: Доказать, что последовательность $b_n$ является геометрической прогрессией и её знаменатель равен $q$.

Дано: $b_n$ — это бесконечная последовательность, члены которой удовлетворяют условию $b_n = a_n + a_{n+1} + a_{n+2}$ для любого натурального $n$.

Запишем выражение для $b_n$, выразив все члены через $a_n$ и $q$:

$b_n = a_n + a_{n+1} + a_{n+2} = a_n + a_n \cdot q + a_n \cdot q^2 = a_n(1 + q + q^2)$

Чтобы доказать, что $b_n$ является геометрической прогрессией, найдем отношение $b_{n+1}$ к $b_n$ и покажем, что оно не зависит от $n$:

$b_{n+1} = a_{n+1}(1 + q + q^2)$

$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{a_{n+1}(1 + q + q^2)}{a_n(1 + q + q^2)} = \frac{a_{n+1}}{a_n}$

Так как $\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$, получаем:

$\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$

Отношение соседних членов постоянно, следовательно, $b_n$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $q$.

Что и требовалось доказать.

---

Задание 3: Поиск значения $q$

Известно, что сумма последовательности $b_n$ в 1.96 раза больше суммы последовательности $a_n$.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии $a_n$:

$S_a = \frac{a_1}{1 - q}$

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии $b_n$ (её знаменатель тоже $q$, поэтому она сходится):

$S_b = \frac{b_1}{1 - q}$

Первый член прогрессии $b_n$ равен $b_1 = a_1(1 + q + q^2)$. Подставим это в формулу суммы:

$S_b = \frac{a_1(1 + q + q^2)}{1 - q}$

По условию $S_b = 1.96 \cdot S_a$. Составим уравнение:

$\frac{a_1(1 + q + q^2)}{1 - q} = 1.96 \cdot \frac{a_1}{1 - q}$

Поскольку $a_1 \neq 0$ и $q \neq 1$, мы можем разделить обе части уравнения на $\frac{a_1}{1 - q}$:

$1 + q + q^2 = 1.96$

$q^2 + q - 0.96 = 0$Решим квадратное уравнение:

$q_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-0.96)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 3.84}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{4.84}}{2} = \frac{-1 \pm 2.2}{2}$

$q_1 = \frac{1.2}{2} = 0.6$

$q_2 = \frac{-3.2}{2} = -1.6$

Так как из пункта «а» известно, что $0 < q < 1$, корень $-1.6$ не подходит.

Ответ: $q = 0.6$

---

Задание 3: Постоянство $c_n$ и поиск $k$

$c_n$ — это бесконечная последовательность, члены которой удовлетворяют условию $c_n = \frac{b_n}{4 \cdot a_n}$ для любого натурального $n$. Известно, что сумма первых $k$ членов этой последовательности равна 34.79.

(1) Доказательство постоянства $c_n$:

Подставим выражение $b_n = a_n(1 + q + q^2)$ в формулу для $c_n$:

$c_n = \frac{a_n(1 + q + q^2)}{4 \cdot a_n} = \frac{1 + q + q^2}{4}$

Значение $c_n$ не зависит от $n$, следовательно, последовательность является постоянной.

Подставим найденное значение $q = 0.6$:

$c_n = \frac{1 + 0.6 + 0.6^2}{4} = \frac{1.96}{4} = 0.49$

Каждый член последовательности $c_n$ равен 0.49. Что и требовалось доказать.

(2) Поиск значения $k$:

Сумма первых $k$ членов постоянной последовательности вычисляется умножением значения члена на их количество:

$S_k = k \cdot c_1 = k \cdot 0.49$

По условию эта сумма равна 34.79:$0.49 \cdot k = 34.79$

$k = \frac{34.79}{0.49} = 71$

Ответ: $k = 71$

---

Последнее задание: Сумма после изменения знаков.

В последовательности $c_n$ изменили знак у членов на четных местах.

Новая последовательность выглядит так:

$0.49, -0.49, 0.49, -0.49, 0.49, \dots$

Сумма любой пары соседних членов (на нечетном и следующем за ним четном месте) равна нулю: $0.49 + (-0.49) = 0$.

Нам нужно найти сумму первых $k = 71$ членов.

Так как 71 — нечетное число, в последовательности будет 35 полных пар, сумма которых равна нулю, и останется один последний (71-й) член, стоящий на нечетном месте.

Следовательно, сумма будет равна значению этого нечетного члена, то есть 0.49.

Ответ: $0.49$