Лето 2026 (מועד ב)- (שאלון 35571) Задание 1 (ד)

Четвертая часть первого задания на Багруте (355571) оказалась крайне интересной. В ней связали стороны прямоугольного треугольника с геометрической прогрессией.

Поэтому в начале нужно было обозначить элементы прогрессии:

Пусть знаменатель геометрической прогрессии - $q$ (так как длины сторон положительны, $q > 0$).Тогда длины сторон треугольника образуют последовательность:

• Первый член: $a_1 = 1$ (это катет $AB$)

• Второй член: $a_2 = 1 \cdot q = q$

• Третий член: $a_3 = 1 \cdot q^2 = q^2$

Поскольку треугольник прямоугольный, сторона $BC$ является гипотенузой (так как лежит напротив прямого угла $A$), а значит, она строго больше любого из катетов.

Часть (1): Обоснование невозможности

Предположим, что гипотенуза $BC$ — это второй член прогрессии, то есть $BC = q$.Тогда третьим членом $q^2$ должен быть второй катет $AC$.Применим теорему Пифагора ($AB^2 + AC^2 = BC^2$):

$1^2 + (q^2)^2 = q^2$

$1 + q^4 = q^2$

$q^4 - q^2 + 1 = 0$

Введем замену $t = q^2$. Получаем квадратное уравнение:$t^2 - t + 1 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, наше предположение неверно.

Ответ к пункту (1): Нет, сторона $BC$ не может быть вторым членом прогрессии.

Часть (2): Поиск длины стороны BC

Поскольку гипотенуза $BC$ является самой длинной стороной, она должна быть наибольшим членом нашей последовательности. Так как гипотенуза $BC > AB$, то $q > 1$, и последовательность является возрастающей ($1 < q < q^2$).

Следовательно, гипотенуза $BC = q^2$, а второй катет $AC = q$.Снова применим теорему Пифагора ($AB^2 + AC^2 = BC^2$):

$1^2 + q^2 = (q^2)^2$

$1 + q^2 = q^4$

$q^4 - q^2 - 1 = 0$

Введем замену $t = q^2$ (учитывая, что $t > 0$):

$t^2 - t - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение через дискриминант ($D = 1 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 5$):

$t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Корень $t = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ является отрицательным, поэтому он нам не подходит (длина стороны в квадрате не может быть отрицательной).Остается единственный положительный корень: $t = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

Поскольку мы определили, что длина гипотенузы $BC = q^2$, а наша переменная $t$ как раз равна $q^2$, мы сразу получаем искомую длину.

Ответ к пункту (2): $BC = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ (Примечание: это значение известно как "золотое сечение").