Лето 2026- (שאלון 35571) Задание 2

Геометрическая прогрессия.

Задача из Багрута на 5 ехидот (2) (שאלון 35571) за лето 2026 года.

Состоит из 4 заданий. Разберем каждое задание отдельно:

Задание א, очень простое.

Чтобы доказать, что прогрессия $c_n$ является геометрической, нужно показать, что отношение двух её соседних членов является константой (не зависит от $n$, является постоянным числом).

$\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{a_{n+1} \cdot b_{n+1}}{a_n \cdot b_n} = \left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right) \cdot \left(\frac{b_{n+1}}{b_n}\right)$

Так как $a_n$ и $b_n$ — геометрические прогрессии со знаменателями $q$ и $2q$ соответственно:

$\frac{c_{n+1}}{c_n} = q \cdot 2q = 2q^2$

Ответ к пункту א: Отношение постоянное, следовательно, $c_n$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $q_c = 2q^2$.

---

Задание ב, найти значение $q$.

Нам даны условия:

$a_1 = b_1$

$c_2 = \frac{1}{8}(a_1)^2$

Запишем $c_2$ через формулу общего члена ($c_n = c_1 \cdot q_c^{n-1}$):

$c_1 = a_1 \cdot b_1 = a_1 \cdot a_1 = (a_1)^2$

$c_2 = c_1 \cdot q_c = (a_1)^2 \cdot 2q^2$

Подставим это в данное по условию уравнение:

$(a_1)^2 \cdot 2q^2 = \frac{1}{8}(a_1)^2$

Так как это бесконечные прогрессии (и далее идет речь об их суммах, то есть они сходящиеся, и их члены не равны нулю), мы можем сократить на $(a_1)^2$:

$2q^2 = \frac{1}{8} \implies q^2 = \frac{1}{16} \implies q = \pm \frac{1}{4}$

В условии сказано, что $a_n$ и $b_n$ — возрастающие бесконечные прогрессии. Для таких прогрессий, чтобы она была возрастающей, её члены должны быть отрицательными, а знаменатель — положительным ($0 < q < 1$), либо... Стоп, проанализируем ограничения для бесконечной суммы.

Сумма существует, только если $|q| < 1$ и $|2q| < 1 \implies |q| < 0.5$.Если бы $q = -\frac{1}{4}$, знаки членов чередовались бы, и прогрессия не была бы монотонно возрастающей. Значит, $q > 0$.

Ответ к пункту ב: $q = \frac{1}{4}$.

---

Задание (1ג) Знак первого члена $a_1$:

Мы знаем, что прогрессия $a_n$ — возрастающая ($a_{n+1} > a_n$) и её знаменатель $q = \frac{1}{4}$.

Запишем условие возрастания:

$a_2 > a_1 \implies a_1 \cdot \frac{1}{4} > a_1$Если бы $a_1$ было положительным, то $\frac{1}{4}a_1$ было бы меньше, чем $a_1$ (например, $0.25 < 1$ — неверно).

Если $a_1$ отрицательное, то при умножении на дробь $0.25$ число приближается к нулю, то есть становится больше (например, $-0.25 > -1$ — верно).

Ответ (1ג): $a_1$ — отрицательное число ($a_1 < 0$).

---

(2) Характер прогрессии $c_n$

Найдем первый член и знаменатель прогрессии $c_n$:

$c_1 = (a_1)^2$. Так как $a_1 \neq 0$, то его квадрат всегда положителен:

$c_1 > 0$.$q_c = 2q^2 = 2 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 2 \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{8}$.

Поскольку $c_1 > 0$ и $0 < q_c < 1$, каждый следующий член прогрессии будет меньше предыдущего (он составляет всего $\frac{1}{8}$ от него).

Ответ (2): Прогрессия $c_n$ убывает (סדרה יורדת).

---

Часть ד Найти значение $a_1$

Вспомним формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $S = \frac{b_1}{1 - q}$.

Выпишем характеристики для всех трех прогрессий:

1. Для $a_n$: первый член $a_1$, знаменатель $q = \frac{1}{4}$.

$S_1 = \frac{a_1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{a_1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}a_1$

2. Для $b_n$: первый член $b_1 = a_1$, знаменатель $2q = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

$S_2 = \frac{a_1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{a_1}{\frac{1}{2}} = 2a_1$

3. Для $c_n$: первый член $c_1 = (a_1)^2$, знаменатель $q_c = \frac{1}{8}$.

$S_3 = \frac{(a_1)^2}{1 - \frac{1}{8}} = \frac{(a_1)^2}{\frac{7}{8}} = \frac{8}{7}(a_1)^2$

Подставим всё в уравнение $S_1 + S_2 + S_3 = 434$:

$\frac{4}{3}a_1 + 2a_1 + \frac{8}{7}(a_1)^2 = 434$

$\frac{10}{3}a_1 + \frac{8}{7}(a_1)^2 = 434$

Приведем к общему знаменателю $21$:

$21 \cdot \left( \frac{8}{7}(a_1)^2 + \frac{10}{3}a_1 - 434 \right) = 0$

$24(a_1)^2 + 70a_1 - 9114 = 0$

Разделим всё уравнение на 2 для упрощения:

$12(a_1)^2 + 35a_1 - 4557 = 0$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

$D = 35^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-4557) = 1225 + 218736 = 219961$

$\sqrt{D} = \sqrt{219961} = 469$

Находим корни:$(a_1)_{1,2} = \frac{-35 \pm 469}{24}$

$(a_1)_1 = \frac{-35 + 469}{24} = \frac{434}{24} = 18.083$ (не подходит, так как из пункта ג мы знаем, что $a_1 < 0$).

$(a_1)_2 = \frac{-35 - 469}{24} = \frac{-504}{24} = -21$ (подходит!).

Ответ к пункту ד: $a_1 = -21$.