Лето 2026-(שאלון 35571) Задание 1(א)

Первая задача Багрута по математике на 5 ехидот (א1) (שאלון 35571)

Доказать методом математической индукции (или другим способом), что для любого натурального $n$ верно равенство:

1. База индукции ($n=1$):

Левая часть: $\frac{1^2}{1 \cdot 3} = \frac{1}{3}$.

Правая часть: $\frac{1(1+1)}{2(2(1)+1)} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Равенство верно.

---

2. Предположение индукции:

Пусть для некоторого натурального $k$ верно:

$\sum_{i=1}^{k} \frac{i^2}{(2i-1)(2i+1)} = \frac{k(k+1)}{2(2k+1)}$

---

3. Шаг индукции:

Проверим для $n = k+1$. Нужно доказать, что сумма равна $\frac{(k+1)(k+2)}{2(2(k+1)+1)} = \frac{(k+1)(k+2)}{2(2k+3)}$.

Прибавим следующий член $(k+1)$-й к обеим частям предположения:

$S_{k+1} = \frac{k(k+1)}{2(2k+1)} + \frac{(k+1)^2}{(2k+1)(2k+3)}$

Вынесем общий множитель $\frac{k+1}{2k+1}$:

$S_{k+1} = \frac{k+1}{2k+1} \left( \frac{k}{2} + \frac{k+1}{2k+3} \right)$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю $2(2k+3)$:

$\frac{k(2k+3) + 2(k+1)}{2(2k+3)} = \frac{2k^2 + 3k + 2k + 2}{2(2k+3)} = \frac{2k^2 + 5k + 2}{2(2k+3)}$

Разложим числитель $2k^2 + 5k + 2$ на множители: $2k^2 + 4k + k + 2 = 2k(k+2) + 1(k+2) = (2k+1)(k+2)$.

Получаем:

$S_{k+1} = \frac{k+1}{2k+1} \cdot \frac{(2k+1)(k+2)}{2(2k+3)} = \frac{(k+1)(k+2)}{2(2k+3)}$

Что и требовалось доказать.