Задание 1(א)- Зима 2026 (שאלון 35571)

Задание 1

Рассмотрим квадрат AKEO.

Проведём высоту из вершины A на сторону KO и обозначим её основание точкой L.

Отрезок AL является высотой одновременно для треугольников AOB и AKB.

Поскольку площадь треугольника равна произведению основания на высоту, делённому на 2, имеем:

$$S_{AOB} = \frac{BO \cdot AL}{2}, \qquad S_{AKB} = \frac{BK \cdot AL}{2}.$$

Следовательно,

$$\frac{S_{AOB}}{S_{AKB}} = \frac{BO}{BK}.$$

Рассмотрим треугольник AOB. Его стороны равны радиусу окружности:

$$KA = OB = OA = R.$$

Следовательно, треугольник AOB — равнобедренный прямоугольный (так называемый «серебряный», משולש כסף), поэтому:

$$KO = R\sqrt{2}.$$

Учитывая, что

$$KO = KB + BO = R\sqrt{2}, \quad BO = R,$$

получаем:

$$KB = R\sqrt{2} - R.$$

Тогда искомое отношение:

$$\frac{S_{AOB}}{S_{AKB}} = \frac{BO}{BK} = \frac{R}{R\sqrt{2} - R} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} + 1.$$

---

Задание 2

Дана площадь треугольника $S_{AOB} = 16$, нужно найти высоту $h_{AK}$ треугольника AKB.

1. Из ответа предыдущего задания, находим площадь треугольника $S_{AKB}$.:

$$S_{AKB} = \frac{S_{AOB}}{1 / (\sqrt{2} - 1)} = S_{AOB} \cdot (\sqrt{2} - 1) = 16 \cdot (\sqrt{2} - 1)$$

2. Чтобы найти высоту $h_{AK}$, нужно определить основание AK, которое равно радиусу R.

3. Рассмотрим треугольник AOK. Его высота совпадает с высотой треугольника, AOB: $h_{AB} = H$.

Так как треугольник AOK — прямоугольный и равнобедренный, с катетами R, его высота равна

$$h = \frac{R\sqrt{2}}{2}.$$

4. Вернёмся к треугольнику AOB, где OB =R,

$$h = \frac{R\sqrt{2}}{2}, \qquad S_{AOB} = 16.$$

Выразим радиус R:

$$S_{AOB} = \frac{R \cdot R\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = 16,$$ $$R^2 = \frac{64}{\sqrt{2}},$$ $$R = \frac{8}{\sqrt[4]{2}}.$$

5. Теперь можно найти высоту $h_{AK}$.
   Известно:

$$S_{AKB} = 16 \cdot (\sqrt{2} - 1), \qquad AK = R = \frac{8}{\sqrt[4]{2}}.$$

Решаем:

$$S_{AKB} = \frac{8 \cdot h_{AK}}{\sqrt[4]{2} \cdot 2} = 16 \cdot (\sqrt{2} - 1),$$ $$h_{AK} = 4 \cdot \sqrt[4]{2} \cdot (\sqrt{2} - 1).$$

Численно:

$$h_{AK} \approx 4 \cdot 1.18 \cdot 0.41 \approx 1.9352.$$