Лето 2026 (מועד ב)- (שאלון 35571) Задание 1 (א)

Задание на математическую индукцию в Багруте по математике (5 ехидот) было достаточно простым.

Вначале главное было не растеряться, при редко встречающемся задании на поиск параметра, а дальше применить знания математической индукции.

Часть (1): Поиск значения $b$

По условию равенство верно при $n = 2$.

Подставим $n = 2$ в левую и правую части уравнения.

• Левая часть (сумма кубов до $n=2$):

$1^3 + 2^3 = 1 + 8 = 9$

• Правая часть:

$\frac{2^2(2+1)^2}{b} = \frac{4 \cdot 3^2}{b} = \frac{4 \cdot 9}{b} = \frac{36}{b}$

Приравняем левую и правую части, чтобы найти $b$:

$9 = \frac{4 \cdot 9}{b}$

И сократим $9$:

$b = 4$

Ответ к пункту (1): $b = 4$.

Шаг 1: База индукции

Часть (2): Доказательство по индукции

Подставим $b = 4$ в исходное уравнение:

$1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$

Докажем справедливость этого утверждения для любого натурального $n$ методом математической индукции.

Шаг 1: База индукции

Проверим справедливость равенства для первого натурального числа, $n = 1$:

• Левая часть: $1^3 = 1$
• Правая часть: $\frac{1^2(1+1)^2}{4} = \frac{1 \cdot 2^2}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Равенство выполняется ($1 = 1$).

Шаг 2: Индуктивное предположение

Предположим, что равенство выполняется для некоторого произвольного натурального числа $n = k$:

$1^3 + 2^3 + ... + k^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4}$

Шаг 3: Индуктивный переход

Докажем, что из истинности предположения для $n = k$ следует истинность равенства для следующего числа, $n = k + 1$. То есть нам нужно доказать, что:

$1^3 + 2^3 + ... + k^3 + (k+1)^3 = \frac{(k+1)^2((k+1)+1)^2}{4} = \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$

Рассмотрим левую часть доказываемого равенства:

$1^3 + 2^3 + ... + k^3 + (k+1)^3$

Сгруппируем первые $k$ слагаемых и заменим их сумму, используя индуктивное предположение из Шага 2:

$\left( \frac{k^2(k+1)^2}{4} \right) + (k+1)^3$

Вынесем общий множитель $(k+1)^2$ за скобки:

$(k+1)^2 \left( \frac{k^2}{4} + (k+1) \right)$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$(k+1)^2 \left( \frac{k^2 + 4(k+1)}{4} \right) = (k+1)^2 \left( \frac{k^2 + 4k + 4}{4} \right)$

Заметим, что числитель дроби в скобках представляет собой формулу полного квадрата суммы: $k^2 + 4k + 4 = (k+2)^2$. Выполним замену:

$(k+1)^2 \left( \frac{(k+2)^2}{4} \right) = \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$

Полученное выражение в точности совпадает с правой частью, которую требовалось доказать.

Вывод: База индукции верна, и индуктивный переход доказан. Следовательно, согласно принципу математической индукции, заданное равенство выполняется для любого натурального числа $n$.