Задание 1(ג)- Зима 2026 (שאלון 35571)

Разберем пункт ג(1) — это третья часть первой задачи из Багрута (2026:שאלון-35571), которая посвящена исследованию функции и графиков.

(1) В задании дана следующая функция:

$f(x) = \sqrt{x^2 - 1} + 2\sqrt{16 - x^2}$

Найдем ее область определения (תחום הגדרה)

Для того чтобы функция была определена, выражения под обоими квадратными корнями должны быть больше нуля.

Составим систему неравенств:

$x^2 - 1 \ge 0 \implies x^2 \ge 1 \implies |x| \ge 1$. Это дает нам интервалы: $x \le -1, и \ x \ge 1$.

$16 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 16 \implies |x| \le 4$. Это дает интервал: $-4 \le x \le 4$.

Пересечение этих двух условий определяет искомую область:

Решение на оси: $-4 \le x \le -4 \quad \text{и} \quad 1 \le x \le 4$

---

(2) Выбор соответствующего графика.

Опираясь на свойства функции и найденную область, нужно определить верный график, из предложенных четырех (см. на рисунок сверху):

-Непрерывность графика: Область определения состоит из двух отдельных отрезков: от $-4$ до $-1$ и от $1$ до $4$. Это означает, что график функции должен иметь "разрыв" или пустое пространство в интервале $(-1, 1)$.

Графики I и II непрерывны в нуле, поэтому они не подходят.

-Значение функции на границах. Проверим значения функции в крайних точках:

$f(1) = \sqrt{1^2 - 1} + 2\sqrt{16 - 1^2} = 0 + 2\sqrt{15} \approx 7.75$

$f(4) = \sqrt{4^2 - 1} + 2\sqrt{16 - 4^2} = \sqrt{15} + 0 \approx 3.87$

Поскольку функция четная ($f(x) = f(-x)$), значения в точках $-1$ и $-4$ будут такими же.

-Поведение графика:

На графике III ветви уходят вверх (к бесконечности), но наша функция ограничена сверху (максимальное значение достигается внутри интервалов).

На графике IV мы видим две отдельные ветви, которые не пересекают ось $y$ (так как $x=0$ не входит в область определения), и значения функции в этих точках положительны. Это соответствует нашему анализу.

Ответ: Функции соответствует графику IV.