Лето 2026б (מועד ב)- (שאלון 35571) Задание 1 (ג)

В третьей части первого задания Багрута на (5ехидот-35571) ученики столкнулись с тем, чего часто бояться - с асимптотами.

Уверен многие его пропустили, хотя решается оно достаточно просто.

Часть (1): Вертикальные асимптоты функции $g(x)$

Вертикальные асимптоты дробно-рациональной функции возникают в точках, где знаменатель равен нулю (при условии, что числитель в этих точках не равен нулю).

Нам нужно найти, сколько решений имеет уравнение:

$f(x) - 2 = 0 \implies f(x) = 2$

• По графику исходной функции $f(x)$ видно, что её значения непрерывно растут от горизонтальной асимптоты $y = 0$ (при $x \to -\infty$) через точку пересечения с осью $y$ $(0, 1)$ до глобального максимума в точке $(3, 4)$. После этой точки график плавно убывает обратно к асимптоте $y = 0$ (при $x \to \infty$).

• Проведем мысленно горизонтальную прямую $y = 2$.

• Так как минимальное значение функции стремится к $0$, а максимальное равно $4$, прямая $y = 2$ пересекает график функции $f(x)$ ровно в двух точках: одна точка пересечения находится на этапе возрастания функции (между $x = 0$, где $y = 1$, и $x = 3$, где $y = 4$), а вторая — на этапе убывания (справа от $x = 3$).

Ответ к пункту (1): Функция $g(x)$ имеет две вертикальные асимптоты, так как уравнение $f(x) = 2$ имеет ровно два корня.

Часть (2): Горизонтальная асимптота функции $g(x)$

Горизонтальная асимптота определяется поведением функции на бесконечности ($x \to \pm\infty$).

По условию задачи, для исходной функции $f(x)$ при $x \to \pm\infty$ выполняется:

$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 0$

Подставим это предельное значение в выражение для $g(x)$:

$\lim_{x \to \pm\infty} g(x) = \frac{1}{0 - 2} = -\frac{1}{2}$

Ответ к пункту (2): Уравнение горизонтальной асимптоты функции $g(x)$ имеет вид $y = -0.5$.

Часть (3): Эскиз графика функции $g(x)$

Для построения эскиза проанализируем ключевые точки и промежутки:

1. Вертикальные асимптоты: Пусть корни уравнения $f(x)=2$ будут $x_1$ (где $0 < x_1 < 3$) и $x_2$ (где $x_2 > 3$). В этих точках график разрывается.

2. Поведение на бесконечности: При $x \to \pm\infty$ график приближается к $y = -0.5$ снизу (так как $f(x) > 0$, знаменатель $f(x) - 2$ всегда чуть больше $-2$, значит дробь чуть меньше $-0.5$).

3. Пересечение с осью $y$: При $x = 0$ имеем $f(0) = 1$. Тогда $g(0) = \frac{1}{1 - 2} = -1$. Точка $(0, -1)$.

4. Точка экстремума: Исходная функция имеет максимум в точке $(3, 4)$. Подставим $x = 3$ в $g(x)$: $g(3) = \frac{1}{4 - 2} = 0.5$. Так как в этой точке знаменатель принимает максимальное значение, сама дробь на промежутке $(x_1, x_2)$ принимает минимальное значение. То есть $(3, 0.5)$ — локальный минимум функции $g(x)$.

5. Знаки функции:

• При $x < x_1$ и $x > x_2$: $f(x) < 2 \implies$ знаменатель отрицательный $\implies$ график лежит ниже оси $x$ (между асимптотами $y = -0.5$ и вертикальными разрывами, уходя в $-\infty$).

• При $x_1 < x < x_2$: $f(x) > 2 \implies$ знаменатель положительный $\implies$ ветка графика находится выше оси $x$ в форме параболоподобной кривой (U-образная форма), с вершиной минимума в точке $(3, 0.5)$ и уходящая ветвями вверх в $+\infty$ вдоль вертикальных асимптот.

График нарисовать не сложно, главное быть внимательным к деталям.