Лето 2026 (מועד ב)- (שאלון 35571) Задание 1 (ב)

Для тех, кто уважает и любит функции, второе задание из первой части багрута на 5 ехидот, не показалось бы сложным.

Часть (1): Определение функции и обоснование

1. Анализ области определения (תחום הגדרה):

По условию и по графику функция определена для $x \le 6$.

• В вариантах III и IV под корнем стоит выражение $x - 6$. Чтобы корень существовал, должно выполняться условие $x - 6 \ge 0 \implies x \ge 6$. Это противоречит условию задачи.

• Следовательно, варианты III и IV не подходят. Остаются варианты I и II, где под корнем стоит $6 - x \ge 0 \implies x \le 6$.

2. Анализ знаков функции по графику:

Посмотрим на поведение графика на интервале $0 < x < 6$:

• На этом промежутке график функции лежит ниже оси $x$, то есть значения $f(x)$ должны быть отрицательными ($f(x) < 0$).

• Проверим знак выражения для любого $x$ из интервала $(0, 6)$, например, при $x = 2$:

______ * Для варианта I: $f(2) = 2\sqrt{6-2} = 2\sqrt{4} = 4 > 0$ (значение положительное, график шел бы выше оси $x$).

______ * Для варианта II: $f(2) = -2\sqrt{6-2} = -2\sqrt{4} = -4 < 0$ (значение отрицательное, что соответствует графику).

Ответ к пункту (1): Подходящее выражение II, то есть $f(x) = -x\sqrt{6 - x}$.

Часть (2): Вычисление площади

1. Составление формулы функции $g(x)$:

$g(x) = (f(x))^2 = \left(-x\sqrt{6 - x}\right)^2 = x^2(6 - x) = 6x^2 - x^3$

2. Пределы интегрирования:

Найдем точки пересечения функции $g(x)$ с осью $x$ (где $g(x) = 0$):

$6x^2 - x^3 = 0$

$x^2(6 - x) = 0$

Корни уравнения: $x = 0$ и $x = 6$. Это и есть наши пределы интегрирования. На интервале $(0, 6)$ функция $g(x) \ge 0$.

3. Нахождение площади через определенный интеграл:

$S = \int_{0}^{6} (6x^2 - x^3) \, dx$

Найдем первообразную функцию:

$\int (6x^2 - x^3) \, dx = \frac{6x^3}{3} - \frac{x^4}{4} = 2x^3 - \frac{x^4}{4}$

Применим формулу Ньютона-Лейбница на отрезке от 0 до 6:

$S = \left[ 2(6)^3 - \frac{(6)^4}{4} \right] - \left[ 2(0)^3 - \frac{(0)^4}{4} \right]$

$S = \left[ 2 \cdot 216 - \frac{1296}{4} \right] - 0$

$S = 432 - 324 = 108$

Ответ к пункту (2): Площадь равна 108.