Лето 2026- (שאלון 35571) Задание 6 (часть 2)

Продолжение разбора 6 задачи, из летнего Багрута-2026 (בגרות - שאלון - 35571)

(ג) Поиск параметра $a$

Функция $g(x) = f(x) + 0.5$ представляет собой график $f(x)$, сдвинутый на 0.5 единиц вверх.

Чтобы график $g(x)$ имел ровно одну точку пересечения с осью абсцисс, единственная подходящая точка на графике — это локальный минимум.

Он должен ровно касаться оси $x$.Приравняем значение минимума функции $g(x)$ к нулю:

$-\frac{a}{12} + 0.5 = 0$

$\frac{a}{12} = 0.5$

Ответ: $a = 6$

(ד) Исследование функции h(x) и расчет площади

Теперь $f(x) = \frac{6x}{(x-3)^2}$.

Найдем выражение для $g(x)$, приведя его к общему знаменателю:

$g(x) = \frac{6x}{(x-3)^2} + \frac{1}{2} = \frac{12x + (x-3)^2}{2(x-3)^2} = \frac{x^2 + 6x + 9}{2(x-3)^2} = \frac{(x+3)^2}{2(x-3)^2}$

Производная $g'(x)$ совпадает с $f'(x)$, так как они отличаются только на константу. Подставим $a = 6$:

$g'(x) = \frac{-6(x+3)}{(x-3)^3}$

Запишем итоговую функцию $h(x) = g(x) \cdot g'(x)$:

$h(x) = \frac{(x+3)^2}{2(x-3)^2} \cdot \frac{-6(x+3)}{(x-3)^3} = \frac{-3(x+3)^3}{(x-3)^5}$

1. Промежутки где функция положительная или отрицательная:

Анализируем знаки числителя и знаменателя $h(x)$ с критическими точками $-3$ и $3$.

При $x < -3$: $(x+3)^3 < 0$ и $(x-3)^5 < 0$. Дробь отрицательная. При $-3 < x < 3$: $(x+3)^3 > 0$ и $(x-3)^5 < 0$. Дробь положительная. При $x > 3$: $(x+3)^3 > 0$ и $(x-3)^5 > 0$. Дробь отрицательная.

Ответ: Функция положительная: $-3 < x < 3$ Функция отрицательная: $x < -3$ и $x > 3$

2. Вычисление площади на отрезке от -9 до 0:

Поскольку функция $h(x)$ меняет знак в точке $x = -3$, мы должны разбить интеграл на две части: от -9 до -3 (где функция отрицательна) и от -3 до 0 (где функция положительна).

Главный трюк здесь — заметить, что $h(x)$ является производной от сложной функции. По правилу дифференцирования $(F(x)^2)' = 2F(x)F'(x)$, значит первообразная для $h(x) = g(x)g'(x)$ выглядит так:

$H(x) = \frac{1}{2} (g(x))^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{(x+3)^2}{2(x-3)^2} \right)^2 = \frac{(x+3)^4}{8(x-3)^4}$

Вычислим значения первообразной в ключевых точках:

$H(0) = \frac{3^4}{8(-3)^4} = \frac{81}{8 \cdot 81} = \frac{1}{8}$

$H(-3) = 0$

$H(-9) = \frac{(-6)^4}{8(-12)^4} = \frac{1}{8} \cdot \left(\frac{-6}{-12}\right)^4 = \frac{1}{8} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{128}$

Считаем две площади по модулю и складываем:

$S_1 = \left| \int_{-9}^{-3} h(x) dx \right| = \left| H(-3) - H(-9) \right| = \left| 0 - \frac{1}{128} \right| = \frac{1}{128}$

$S_2 = \int_{-3}^{0} h(x) dx = H(0) - H(-3) = \frac{1}{8} - 0 = \frac{1}{8}$

**Общая площадь:

$S = S_1 + S_2 = \frac{1}{128} + \frac{1}{8} = \frac{1}{128} + \frac{16}{128} = \frac{17}{128}$**

Последние ответы найдены, и очередные баллы идут в копилку!