Лето 2026- (שאלון 35571) Задание 6 (часть 1)

Шестая Задача из Багрута - 5 ехидот (שאלון 35571) за лето 2026 года.

Задание на Анализ функции.

Пункт А: Асимптоты и экстремумы

1. Вертикальные и горизонтальные асимптоты:

Вертикальная асимптота возникает там, где знаменатель равен нулю, а числитель — нет.

При $x = 3$ знаменатель равен нулю, а числитель становится $3a$, $3a \neq 0$ (так как по условию $a > 0$).

Следовательно, вертикальная асимптота: $x = 3$.

Для горизонтальной асимптоты анализируем поведение функции при стремлении $(x)$ к бесконечности.

Так как степень знаменателя (квадрат) больше степени числителя (первая), предел равен нулю.

Горизонтальная асимптота: $y = 0$.

2. Точка экстремума:

Найдем производную по правилу дифференцирования дроби:

$f'(x) = \frac{a(x-3)^2 - ax \cdot 2(x-3)}{(x-3)^4} = \frac{a(x-3) - 2ax}{(x-3)^3} = \frac{-a(x+3)}{(x-3)^3}$

Приравняем числитель к нулю: $-a(x+3) = 0$, откуда получаем $x = -3$.Вычислим значение функции в этой точке:

$f(-3) = \frac{-3a}{(-3-3)^2} = \frac{-3a}{36} = -\frac{a}{12}$

Проверим знаки производной вокруг точки $x = -3$, чтобы определить тип экстремума:

При $x = -4$: числитель положительный, знаменатель отрицательный $\rightarrow$ производная отрицательна (функция убывает).

При $x = 0$: числитель отрицательный, знаменатель отрицательный $\rightarrow$ производная положительна (функция возрастает).Поскольку функция меняет поведение с убывания на возрастание, точка $(-3, -\frac{a}{12})$ является минимумом.

Пункт Б: Эскиз графика

График функции обладает следующими свойствами:

Слева от вертикальной асимптоты $x = 3$: функция убывает от горизонтальной асимптоты $y = 0$ до минимума $(-3, -\frac{a}{12})$, затем возрастает, проходит через начало координат $(0, 0)$ и уходит в бесконечность $(+\infty)$ вдоль асимптоты $x = 3$.

Справа от $x = 3$: функция всюду положительна и убывает от $+\infty$ до горизонтальной асимптоты $y = 0$.

На этом этапе, не зная $(a)$, можем нарисовать график, приблизительно: