Лето 2026-(שאלון 35571) Задание 1(ד)

Последнее задание, на анализ функции, из первой задачи Багрута на 5 ехидот (1ד) (שאלון 35571)

Разберем первый пункт (1): Нахождение функции $g(x)$

Для этого, вычислим неопределенный интеграл от $f(x)$:

$g(x) = \int \frac{-30x^2}{(x^3 - 8)^2} dx$

Применим метод замены переменной. Пусть:

$u = x^3 - 8 \implies du = 3x^2 dx \implies x^2 dx = \frac{du}{3}$

Подставим это в интеграл:

$g(x) = \int \frac{-30}{(x^3 - 8)^2} \cdot \left(x^2 dx\right) = \int \frac{-30}{u^2} \cdot \frac{du}{3} = \int \frac{-10}{u^2} du = -10 \int u^{-2} du$

Интегрируем:

$g(x) = -10 \cdot \left( \frac{u^{-1}}{-1} \right) + C = \frac{10}{u} + C$

Возвращаемся к переменной $x$:

$g(x) = \frac{10}{x^3 - 8} + C$

Используем начальное условие $g(0) = \frac{3}{4}$, чтобы найти константу $C$:

$\frac{10}{0^3 - 8} + C = \frac{3}{4}$

$-\frac{10}{8} + C = \frac{3}{4}$

$-\frac{5}{4} + C = \frac{3}{4} \implies C = \frac{3}{4} + \frac{5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Ответ на пункт (1):

$g(x) = \frac{10}{x^3 - 8} + 2$

Теперь займемся вторым пунктом (2): Анализ графиков

Нам известны следующие ключевые свойства $g(x)$:

Производная: $g'(x) = f(x)$.

Из исходного графика $f(x)$ видно, что $f(x) \le 0$ на всей области определения. Значит, $g'(x) \le 0$, а это указывает на то, что функция $g(x)$ должна убывать как при $x < 2$, так и при $x > 2$.

Точка перегиба: При $x = 0$ производная равна нулю ($f(0) = 0$). Значит, в точке $(0, 0.75)$ у графика $g(x)$ должна быть «горизонтальная полка» (касательная параллельна оси $x$).

Горизонтальная асимптота: Мы нашли, что $g(x) = \frac{10}{x^3-8} + 2$. При $x \to \pm\infty$ функция стремится к $y = 2$. То есть на краях график должен прижиматься к пунктирной линии $y = 2$, которая находится выше оси $x$.

Теперь проанализируем сами графики:

График III и График IV — ИСКЛЮЧАЕМ:

На этих рисунках функция $g(x)$ возрастает на отдельных промежутках (ветви идут снизу вверх слева направо). Поскольку наша производная всегда отрицательна или равна нулю, функция обязана только убывать.

График II — ИСКЛЮЧАЕМ:

Посмотрим на левую ветвь (при $x < 2$). График пересекает ось $y$ ниже горизонтальной асимптоты, но в районе $x = 0$ он идет гладко вниз, без характерного изгиба («полки»). Главное — его правая ветвь (при $x > 2$) находится выше горизонтальной асимптоты и приближается к ней сверху. Но если мы проверим любое значение $x > 2$ (например, $x = 3$):

$g(3) = \frac{10}{27 - 8} + 2 = \frac{10}{19} + 2 \approx 2.53$

А при движении вправо ($x \to \infty$) значения уменьшаются и приближаются к $2$ сверху. График II это показывает, но у него полностью отсутствует точка перегиба в $x=0$ на левой ветви (он там просто выпуклый).

График I — ПРАВИЛЬНЫЙ ВАРИАНТ:

Монотонность: Обе ветви (и левая, и правая) строго убывают.

Точка перегиба: Четко виден характерный изгиб («горизонтальный выход») ровно на оси $y$, то есть при $x = 0$.

Асимптоты: Вертикальная асимптота $x = 2$ и горизонтальная асимптота $y = 2$ (пунктир выше оси $x$) соблюдены. Левая ветвь начинается под асимптотой $y=2$, плавно перегибается в $(0, 0.75)$ и уходит вниз к $-\infty$ вдоль линии $x=2$. Правая ветвь убывает от $+\infty$ до $y=2$.

Правильный ответ и обоснование для записи: Правильный график — I.

Обоснование:

По условию $g'(x) = f(x)$. Из данного графика $f(x)$ видно, что $f(x) < 0$ для всех $x \neq 2$, кроме точки $x = 0$, где $f(0) = 0$. Это значит, что функция $g(x)$ должна строго убывать на промежутках $x < 2$ и $x > 2$. Этому условию соответствуют только графики I и II.

В точке $x = 0$ производная равна нулю ($g'(0) = 0$), что означает наличие точки перегиба с горизонтальной касательной. На графике I в точке пересечения с осью $y$ отчетливо виден этот перегиб («полка»), в то время как на графике II функция убывает без изменения характера выпуклости в этой точке.