Лето 2026- (שאלון 35571) Задание 1(ג)

Задача на анализ функции, из первого задания Багрута на 5 ехидот (1ב) (שאלון 35571)

Разберем каждое задание отдельно:

1) Найдем область определения $g(x)$

Функция $g(x)$ представляет собой дробь: $g(x) = \frac{1}{(f(x))^2}$.

И область определение будет определяться через ее знаменатель (не равен нулю).

$(f(x))^2 \neq 0 \implies f(x) \neq 0$

Из графика видно, что функция $f(x)$ пересекает ось $x$ (то есть равна нулю) только в одной точке: $x = 12$.

Ответ: Область определения: $x \neq 12$.

2) Построим эскиз графика $g(x)$

Для этого, проанализируем её ключевые особенности функции:

1. Асимптота

Опираясь, на первый пункт можно сразу сделать вывод, что $x = 12$ это вертикальная асимптота.

А поскольку знаменатель возводится в квадрат, функция $g(x)$ будет всегда стремится к $+0$ как слева, так и справа от $12$.

2. Экстремумы

В начали найдем производную:

$g'(x) =((f(x))^{-2})'={-2 \cdot (f(x))^{-2-1}\cdot f'(x)} = -\frac{2f'(x)}{(f(x))^3}$

Так как $g'(x) = 0$ тогда же, когда и первоначальная функция ($f'(x) = 0$), то координаты $x$ совпадают у обеих функций:

При $x = 6$: Исходная точка $(6, a)$. Здесь $f(6) = a$.

$g(6) = \frac{1}{a^2}$

При $x = 18$: Исходная точка $(18, -2a)$. Здесь $f(18) = -2a$.

$g(18) = \frac{1}{(-2a)^2} = \frac{1}{4a^2}$

3. Поведение на бесконечности ($x \to \pm\infty$)

Из графика $f(x)$ видно, что при $x \to -\infty$ и $x \to +\infty$ график приближается к $y = 0$.

Так как $f(x) \to 0$, то $g(x) = \frac{1}{(f(x))^2} \to +\infty$.Горизонтальных асимптот у $g(x)$ нет.

При $x \to \pm\infty$ график уходит вверх.

Учитывая, что к экстремуму $x = 12$, функция приближается в положительной зоне ($g(x) \to +\infty$ с обеих сторон). Можно сделать вывод о том, что экстремумы являются точками локального минимума.

*4. Сравнение высоты минимумов:

Так как $a > 1$, то $a^2 < 4a^2$, а значит:

$\frac{1}{a^2} > \frac{1}{4a^2}$

То есть левый минимум (при $x=6$) находится выше, чем правый минимум (при $x=18$).

В результате, построить график достаточно легко:

(3) Нахождение параметра $a$

Нам дана горизонтальная прямая $y = \frac{a}{27}$. Она пересекает наш эскиз ровно в 3 точках.

График $g(x)$, состоящий из двух "чаш", уходящих ветвями вверх, говорит нам, что прямая проходит ровно через верхний минимум ($y = \frac{1}{a^2}$), она коснется левого минимума (1 точка) и пересечет две ветви правой "чаши" (2 точки).

Таким образом, условие 3 точек пересечения выполняется, только если:$\frac{a}{27} = \frac{1}{a^2}$

Решаем полученное уравнение:$a^3 = 27$

$a = \sqrt[3]{27} = 3$

Ответ (3): $a = 3$.