Багрут 4 יחידות — квадратичная функция (задание 1, 35481, зима 2025)

Условие

Дана функция $f(x) = x^2 - 4x + 3$.

а) Найдите точки пересечения графика функции с осями координат.

б) Определите интервалы возрастания и убывания функции.

в) Найдите значение $x$, при котором функция достигает минимума, и значение минимума.

г) Постройте схематический график функции.

נתונה הפונקציה $f(x)=x^2-4x+3$.

א. מצא את נקודות החיתוך עם הצירים.

ב. קבע את תחומי העלייה והירידה.

ג. מצא את ערך ה-$x$ שבו מתקבל מינימום ואת ערך המינימום.

ד. שרטט סקיצה של גרף הפונקציה.

Дано

• $f(x) = x^2 - 4x + 3$ — квадратичная функция, определённая на $\mathbb{R}$

Найти

а) точки пересечения графика с осями координат;

б) интервалы возрастания и убывания;

в) точку минимума и значение минимума;

г) схематический график функции.

Решение

Шаг 1. Точка пересечения с осью $Oy$

Пересечение с осью ординат — это значение функции при $x = 0$. Подставим:

$$f(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 + 3 = 3$$

Получили точку $(0,\ 3)$.

Шаг 2. Точки пересечения с осью $Ox$

В точках пересечения с осью абсцисс выполняется $f(x) = 0$. Решим квадратное уравнение:

$$x^2 - 4x + 3 = 0$$

Разложим левую часть на множители по теореме Виета: ищем два числа, сумма которых $4$, а произведение $3$. Это $1$ и $3$:

$$(x - 1)(x - 3) = 0$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$x - 1 = 0 \quad \text{или} \quad x - 3 = 0$$ $$x_1 = 1, \quad x_2 = 3$$

Получили две точки пересечения с осью $Ox$: $(1,\ 0)$ и $(3,\ 0)$.

Шаг 3. Производная и критическая точка

Для исследования монотонности и поиска экстремума вычислим производную:

$$f'(x) = 2x - 4$$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$$2x - 4 = 0$$ $$2x = 4$$ $$x = 2$$

Это единственная критическая точка функции.

Шаг 4. Интервалы возрастания и убывания

Исследуем знак производной $f'(x) = 2x - 4$ слева и справа от $x = 2$. Возьмём контрольные точки:

• при $x = 0$: $f'(0) = 2 \cdot 0 - 4 = -4 < 0$ — функция убывает;
• при $x = 3$: $f'(3) = 2 \cdot 3 - 4 = 2 > 0$ — функция возрастает.

Следовательно:

$$f(x)\ \text{убывает на}\ (-\infty,\ 2)$$ $$f(x)\ \text{возрастает на}\ (2,\ +\infty)$$

Шаг 5. Точка минимума и значение минимума

В точке $x = 2$ производная меняет знак с минуса на плюс — значит, это точка локального минимума. Поскольку у параболы (старший коэффициент $a = 1 > 0$, ветви направлены вверх) ровно один экстремум, он же является глобальным минимумом.

Найдём значение функции в этой точке:

$$f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$$

Итого: точка минимума — $(2,\ -1)$, значение минимума — $f_{\min} = -1$.

Проверка. Вторая производная: $f''(x) = 2 > 0$ для всех $x$. Значит, в стационарной точке действительно минимум, что согласуется с нашим выводом.

Шаг 6. Схематический график

График функции — парабола; так как старший коэффициент $a = 1 > 0$, её ветви направлены вверх. Ключевые элементы графика:

• вершина: $(2,\ -1)$;
• ось симметрии: прямая $x = 2$;
• пересечение с осью $Oy$: точка $(0,\ 3)$;
• пересечения с осью $Ox$: точки $(1,\ 0)$ и $(3,\ 0)$.

График симметричен относительно прямой $x = 2$. Слева от вершины (при $x < 2$) кривая убывает от $+\infty$ до $-1$, справа (при $x > 2$) — возрастает от $-1$ до $+\infty$. По симметрии: точка $(0,\ 3)$ на оси $Oy$ соответствует точке $(4,\ 3)$ — её зеркальному отражению относительно $x = 2$ (это полезно для построения).

Ответ

а) Точки пересечения с осями координат: $(0,\ 3)$, $(1,\ 0)$, $(3,\ 0)$.

б) Функция убывает на $(-\infty,\ 2)$ и возрастает на $(2,\ +\infty)$.

в) Минимум достигается при $x = 2$:

$$f_{\min} = f(2) = -1$$

г) График — парабола с вершиной в точке $(2,\ -1)$, ветви направлены вверх; пересекает оси координат в точках $(0,\ 3)$, $(1,\ 0)$ и $(3,\ 0)$; ось симметрии — прямая $x = 2$.